BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Secara
etimologi kata statistic berasal dari kata status ( bahasa latin ) yang
mempunyai persamaan arti dengan kata state (bahasa inggris) atau staat ( bahasa
Belanda ) ,dan yang bahasa Indonesia diterjemahkan menjadi Negara . Pada
mulanya statistic diartikan sebagai kumpulan bahan keterangan (data ) ,baik
yang berwujud angka( data kuantitatif ) maupun data yang tidak berwujud angka (
data kulaitatif),yang mempunyai arti penting dan kegunaan bagi Negara.
Namun,
pada perkembangan selanjutnya arti kata statistik hanya dibatasi pada kumpulan
bahan keterangan yang berwujud angka . Mata kuliah statistika sangat dibutuhkan
mahasiswa terutama saat seorang mahasiswa harus mengumpulkan data
,mengolah,menganalisis ,dan menginterpretasikan data untuk pembuatan skripsi,thesis
atau desertasi.
Berdasarakan
latar belakang tersebut penulis atau penyusun ingin mengetahui lebih jauh
tentang statistik ,macam- macamnya,rumus cara penghitungannya dan contoh
pengerjaannya.
1.2 Rumusan Masalah
1. Apakah yang dimaksud
pemusatan data, dan apa saja pembagian ukuran pemusatan data ?
2. Bagaimanakah cara
penyelesaiannya ?
3. Apakah yang dimaksud
pengukuran variabilitas dan apa saja macam variabilitas ?
1.3 Tujuan
1. Untuk mengetahui
pengertian pemusatan data dan pembagian ukuran pemusatan data
2. Untuk mengetahui
bagaimana cara penyelesaian dari macam-macam ukuran pemusatan data
3. Untuk mengetahui cara
penyelesaian dari macam- macam pengukuran variabilitas
4. Untuk memenuhi tugas
kelompok, mata kuliah al ihsha al tarbawiy
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengetian Ukuran
Pemusatan Data
Ukuran pemusatan data adalah nilai tunggal
dari data yang dapat memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pemusatan
data yang juga mewakili seluruh data.
Ada beberapa macam ukuran pemusatan
data antara lain,
rata-rata, median, modus, kuartil, persentil. [1]
2.2 Macam- macam Ukuran Pemusatan Data
a. Rerata
Terdapat tiga jenis rerata (mean) yakni
,rerata aritmatik, rerata ukur,dan rerata harmonik.
1. Rerata Aritmatik
.Dalam statistika ,sekumpulan data numeric dapat diwakili oleh satu nilai yang
disebut rerata aritmatik. Cara menentukan rerat adapat dilakukan dengan dua cara
,yakni secara langsung dari data mentah (ungrouped data) atau dengan terlebih dahulu
dikelompokkan ke dalam beberapa kelas atau kategori (grouped data) . Penghitungan
rerata langsung dapat dihitung menggunakan rumus : 
Dimana n jumlah
data ,I =1,2,3,…..n. dengan menggunakan rumus seperti diatas .
Contoh :
Rerata dari
lima buah data :54,76,73,37,45 adalah …
Jawab : X = 54+76+73+37+45 = 57
5
Penghitungan rerata
data tersusun ditentukan dengan rumus :
Dimana f= frekuensi pada kelas i , i=1,2,3,…k, Xt= nilai tengah dari kelas
i.
Contoh:
Penghitunganreratapengirimandan biro ekspedisi
A
|
Nilai (xRp 1000)
|
Xt
|
fi
|
Xtfi
|
|
5,00-9,99
|
7,495
|
6
|
44,970
|
|
10,00-14,99
|
12,495
|
12
|
149,940
|
|
15,00-19,99
|
17,495
|
19
|
332,405
|
|
20,00-24,99
|
22,495
|
20
|
449,900
|
|
25,00-29,99
|
27,495
|
13
|
357,435
|
|
30,00-34,99
|
32,495
|
8
|
259,960
|
|
35,00-39,99
|
37,495
|
2
|
74,990
|
|
|
∑
|
80
|
1669,600
|
Dari table diatas diperoleh 
2. Rerata Ukur
Apabila perbandingan tiap dua data yang berurutan sama atau hampir sama ,perhitungan rerta lebih teliti jika dilakukan
dengan menggunakan rerata ukur dari pada rerata aritmatik. Untuk sekumpulan
data 
dimana i =1,2,3,…n rerata ukur dihitung
menggunakan rumus :
dimana i =1,2,3,…n rerata ukur dihitung
menggunakan rumus :
Untuk bilangan-bilangan besar ,rumus diatas dapat
dirubah ke dalam bentuk logaritma:
Sebagai contoh, tiga bilangan yang memenuhi syarat
deret ukur 2000, 4000, 8000 akan memberikanlogaritma rerata ukur :
Dengan menggunakan kalkulator atau table,logaritma
diperoleh U=4000
3. Rerata Harmonik
Yaitu jika sebuah sampel berukuran n diperoleh diman i=1,2,3,…n,maka harmonic dihitung dihitung
dengan rumus :
diman i=1,2,3,…n,maka harmonic dihitung dihitung
dengan rumus :
Contoh :
Seorang pengemudi melakukan antar jemput staf perusahaan dari Jakarta –Cilegon
dua kali pulang – pergi dalam sehari .Jarak Jakarta – cilegon sejauh 90 km itu ditempuh
dengan kecepatan rata- rata 60 km/h ,45 km/h,40 km/h ,dan 36 km/h . Berapakah kecepatan
rata – rata pengemudi itu menjalankan mobilnya dalam sehari ?Dengan menggunakan
rerata harmonic ,diperoleh :
Catatan : untuk menjawab pertanyaan ini umumnya
orang akan menggunakan rerata aritmatik : ( 60+45+40+36)/4=45,25 km/h. Jawaban ini
salah karena untuk menempuh jarak 90 km itu masing- masinga data
1,5h,2,0h,2,25h,2,5h. Jarak yang ditempuh dalam sehari itu adalah
360/(1,5h+2,0h+2,25h+2,5h)= 360/8,25=43,64 km/h . Hal ini menunjukkan bahwa
,dengan menggunakan rumus rerata harmonic diperoleh nilai yang lebih mendekati nilai
sebenarnya (selisih 0,06 km/h karena pembulatan pada perhitungan pecahan).
b. Median
Ukuran kedua yang diggunakan untuk menentukan nilai sentral adalah median
.Median adalah nilai tengah setelah sekelompok data disusun dalam urutan dari
yang terkecil kenilai yang terbesar atau sebaliknya. Jika jumlah datanya ganjil,
maka mediannya adalah angka yang terletak ditengah – tengah. Misalnya suatu
sample menghasilkan data 12,7,8,14,16,19,10 . Setelah disusun menurut urutan nilai
diperoleh 7,8,10,12,14,16,19 . Pada contoh ini mediannya adalah12 . tetapi jika
datanya genap ,misalnya : 7,8,8,10,12,14,16,19maka mediannya berada diantara10
dan 12 , besar Me= (10+12)/2=11 . Jadi mediannya adalah 11.
Untuk data tersusun nilai median ditentukan menggunakan rumus berikut
:
Me= b+p .
Me= median
b = nilai batas terendah dari kelas dimana median berada
p = interval kelas median
n =ukuran sampel
F = Jumlah semua frekuensi dengan
nilai tengah kelas lebih kecil dari pada nilai tengah median
f = frekuensi kelas median
contoh :
Penghitungan median pengiriman dan biro
ekspedisi A
|
Nilai (xRp 1000)
|
Xt
|
fi
|
Xtfi
|
|
5,00-9,99
|
7,495
|
6
|
44,970
|
|
10,00-14,99
|
12,495
|
12
|
149,940
|
|
15,00-19,99
|
17,495
|
19
|
332,405
|
|
20,00-24,99
|
22,495
|
20
|
449,900
|
|
25,00-29,99
|
27,495
|
13
|
357,435
|
|
30,00-34,99
|
32,495
|
8
|
259,960
|
|
35,00-39,99
|
37,495
|
2
|
74,990
|
|
|
∑
|
80
|
1669,600
|
Diketahui median terletak pada kelas keempat
,sehingga b=20,00,p = 4,99, f = 20, n= 80 dan F = 37. Dengan menggunakan rumus diatas
diperoleh :
Me = 20 + 4,99 . 
Jadi , median yang di perolehdari data diatas adalah
20,75
c. Modus
Untuk menyatakan
gejala sentral yang paling banyak terjadi digunakan ukuran modus.Jika sampel menghasilkan
nilai 12,14,34,34,28,28,34,14,37 setelah disusun menurut urutan besarnya nilaidiperoleh
12,14,28,28,34,34,34,37, data ini menunjukkan nilai 34 muncul terbanyak (tiga kali) sehingga modus
dari sample tersebut adalah Mo = 34 . dan untuk data yang tersusun seperti ini menggunakan
rumus sebagai berikut [2]:
Mo = b + p .(
)
)
Penghitungan modus pengiriman dan biro ekspedisi A
|
Nilai (xRp 1000)
|
Xt
|
fi
|
Xtfi
|
|
5,00-9,99
|
7,495
|
6
|
44,970
|
|
10,00-14,99
|
12,495
|
12
|
149,940
|
|
15,00-19,99
|
17,495
|
19
|
332,405
|
|
20,00-24,99
|
22,495
|
20
|
449,900
|
|
25,00-29,99
|
27,495
|
13
|
357,435
|
|
30,00-34,99
|
32,495
|
8
|
259,960
|
|
35,00-39,99
|
37,495
|
2
|
74,990
|
|
|
∑
|
80
|
1669,600
|
Mo = Modus
b =
batas bawah kelas modus
f1 = selisih frekuensi anatara kelas modus dan
frekuensi kelas sebelumnya
f2 = selisih frekuensi antara kelas modus dan kelas
berikutnya
p = interval kelas modus
dari table diatas diperoleh b= 20, p= 4,99, f1
= 20- 19= 1, f2= 20-13 = 7 , sehingga
Jadi, modus dari data tersebuta adalah ; 2,62
d. Kuartil
Kuartil adalah titik yang membagi data yang
telah diurutkan menjadai 4 bagian dan masing – masing 25%. Kuartil ada 3 macam
;
a. Kuartil bawah (K1) = 25% dari titik bawah
b. Kuartil tengah (K2) = 50% dari titik bawah
c. Kuartil atas (K3) = 75% dari titik bawah
Ki = Li +
Keterangan :
Ki = Kuartil ke- i
i = ke-i (1,2,3)
n = banyak data
Contoh :
Tentukan kuartil-kuartil dari data :
1,3,6,9,14,18,21 !!!
Jawab :
Jumlah data (n) =7
Posisi K1= 
Maka nilai kuartil adalah 3
Posisi K2 = 
Maka nilai kuartil 2 adalah 9
Posisi K3 =
Maka posisi kuartil 3 adalah 18
e. Desil
Desil adalah nilai batas dari data yang telah
diurutkan menjadi 10 bagian .
·
Desil data tunggal
Di = 
Keterangan :
Di = desil ke- i
i = ke – i (1,2,3,4,5,6,7,8,9)
n = banyak data
contoh :
Diketahui data :
9,10,11,6,8,7,7,5,4,5
Tentukan desil ke-1 dan
desil ke-4.
Jawab :
Data
diurutkan:4,5,5,6,7,7,8,9,10,11 letak desil ke-1 diurutkan data-1/10
(10+1)=11/10=1,1
D1 terletak pada urutan
ke -1,1 sehingga:
Jadi D1= 
+0,1(
)= 4+0,1(5-4)=4+0,1 =4,1
+0,1()= 4+0,1(5-4)=4+0,1 =4,1
Letak desil ke-4
diurutkandata ke-4/10
(10+1)=44/10=4,4
D4 terletak pada urutan
ke-4,4
Sehingga:D4 = 
Jadi D4 =6 +
0,4(7-6)= 6+ 0,4 =6,4
f. Persentil
Persentil yaitu titik yang membagi data yang
telah diurutkan menjadi 100 bagian
Pi = 
Keterangan :
Pi =
Persentil ke-i
i = 1.2.3.4.5……,99
n = banyak data
2.2 Pengertian
Pengukuran Variabilitas
Pengukuran Variabilitas ( dispersi ) adalah derajat penyebaran
nilai-nilai variable dari suatu tendensi sentral dalam suatu distribusi.
Bilamana dua distribusi, dikatakan
distribusi A dan disribusi B dibandingkan, dan distribusi A menunjukkan
penyebaran nilai-nilai variabelnya yang lebih besar daripada distribusi B, maka
dikatakan bahwa distribusi A mempunyai variabilitas yang lebih besar dari
distribudi B.
2.3 Macam – Macam Pengukuran Variabilitas
1.
Range / Daerah
Jangkau
Range adalah ukuran penyebaran yang
paling sederhana, merupakan jarak antara nilai yang tertinggi dengan nilai yang
terendah.
Dengan rumus :
Dengan R =
Range
= Nilai tertinggi
= Nilai terendah
Contoh :
Tentukan range dari data 5 7 8 2
9 8 10 !
Jawab : 
= 10
= 10
= 2
Jadi 
2.
Mean Deviasi / Simpangan Rata – Rata
Deviasi rata-rata adalah rata-rata
dari deviasi nilai-nilai dari Mean dalam suatu distribusi, diambil nilainya
yang absolute ( nilai-nilai yang positif ).
Secara aritmetik mean deviasi dapat
didefinisikan sebagai mean dari harga mutlak dari deviasi nilai-nilai
individual.
Dengan rumus :
a.
Data tunggal
atau
Dengan SR=
MD = Mean Deviasi
= Jumlah deviasi dalam harga mutlaknya
= Selalu positif
= Nilai data
= Mean
N = Jumlah individu / kasus / data
Contoh :
1.
Hitung
mean deviasi dari 6 7 8 9 1 4 3 18 ?
Jawab :
sama tapi selalu positif
|
|
 |
 |
|
6
7
8
9
1
4
3
18
|
-1
0
1
2
-6
-3
-4
11
|
1
0
1
2
6
3
4
11
|
 |
|
28
|
= 
= 3,5
b.
Data
berbobot
atau 
Contoh :
|
X
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
F
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
5
|
Jawab :
|
X
|
F
|
f.x
|
 |
 |
|
5
6
7
8
9
10
|
2
4
6
8
10
5
|
10
24
42
64
90
50
|
3
2
1
0
1
2
|
6
8
6
0
10
10
|
|
|
35
|
280
|
8
|
40
|
3.
Standar
Deviasi / Simpangan Baku
Secara matematik standar deviasi dibatasi
sebagai akar dari jumlah deviasi kuadrat dibagi banyaknya individu dalam
distribusi. Deviasi rata – rata yang telah menempuh proses perhitungan. Deviasi
standar atau standar deviasi biasanya dilambangkan dengan SD atau 
.
Disebut standar deviasi, karena deviasi rata – rata yang tadinya memiliki
kelemahan, telah di bakukan atau distandarisasikan sehingga memiliki kadar
kepercayaan atau realibilitas yang lebih mantap. Oleh karena itu dalam dunia
analisis statistic standar deviasi kedudukan yang amat penting. Standar deviasi
bisa dicari dengan rumus sebagai berikut:
.
Disebut standar deviasi, karena deviasi rata – rata yang tadinya memiliki
kelemahan, telah di bakukan atau distandarisasikan sehingga memiliki kadar
kepercayaan atau realibilitas yang lebih mantap. Oleh karena itu dalam dunia
analisis statistic standar deviasi kedudukan yang amat penting. Standar deviasi
bisa dicari dengan rumus sebagai berikut:
SD = 
Keterangan
:
SD = Standar Deviasi
Σx² = Jumlah semua deviasi, setelah mengalami proses
penguadratan terlebih dahulu
N = Banyaknya Data
|
Nilai Variabel (X)
|
Mean Deviasi (x) atau
|X-M|
|
Mean Deviasi Kuadrat (x²) atau |X-M|²
|
|
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
|
+5
+4
+3
+2
+1
0
-1
-2
-3
-4
-5
|
25
16
9
4
1
0
1
44
9
16
25
|
|
Jumlah: 154
|
Σx = 0
|
Σ² = 110
|
Penyelesaian :
SD =
= 
= 
= 3,16
BAB III
PENUTUP
3.1
Kesimpulan
Statistik tidak akan pernah lepas
dari pengukuran penyebaran data untuk mengetahui bagaimana penyebaran data
tersebut, apakah penyebarannya homogen atau heterogen. Penyebaran data juga
untuk mempermudah pembaca untuk membaca data yang kita miliki.
DAFTAR PUSTAKA
Hadi,
Sutrisno. 2015. Statistik. Yogyakarta: Pustaka Pelajar.
Subana, Rahadi Moerstyo, Sudrajat,2000.Statistik pendidikan.Bandung:
Pustaka setia
Reksoatmodjo,Tedjo.2007.Statistika untuk Psikologi dan Pendidikan.Bandung:Refika
Aditama
